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Définitions
\(\triangleright\) Définition des séries de Fourier
L'idée des séries de Fourier est de pouvoir décomposer un signal en une somme de fonctions sinusoïdales.
$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(f)e^{2i\pi \frac nTx}$$
Ici, le calcul est une Série.
Avec:
Continuité par morceau
\(\triangleright\) Lemme de Lebesgue
Si \(f\) est continue par morceau sur \([a,b]\), alors:
$$\lim_{\lambda\to \pm \infty}\int_a^bf(x)e^{i\lambda x}dx=0$$
Théorème de Dirichlet
Vision en produit scalaire
\(\triangleright\) Vision en produit scalaire des séries de Fourier
On peut considérer les coefficients de Fourier comme de produits scalaires:- \(a_n={{\langle{f|\cos(nx)}\rangle }}={{\frac 1\pi \int_0^{2\pi}f\cos(nx)dx}}\)
- \(b_n={{\langle{f|\sin(nx)}\rangle }}={{\frac 1\pi \int_0^{2\pi}f\sin(nx)dx}}\)
- \(c_n= {{\langle{f|e^{inx} }\rangle }}={{\frac {1}{2\pi} \int_0^{2\pi}f\bar{e^{inx} }dx}}\)
Théorèmes
Inégalité de Bessel
Théorème de Parseval
Propriétés
\(\triangleright\) Primitive et dérivées des séries de Fourier
- Si \(f\) est lisse par morceau et continue:
$$c_n(f')=i n c_n(f)$$
$$F(x)={{\int_0^xf(s)ds}}\quad\text{verifie les conditions de Dirichlet}$$
ET
$$\forall n\neq 0\qquad c_n(F)={{\frac{c_n(f)}{in} }}$$
